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初中二次函数最值的4种解法,看完不惧压轴题!

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初中二次函数最值的4种解法,看完不惧压轴题!

发布日期:2018-01-19 作者: 点击:

从近几年的各地中考试卷来看,求面积的最值问题在压轴题中比较常见,而且通常与二次函数相结合。在这里以一道中考题为例,介绍几种不同的解题方法,供同学们参考,都掌握了之后一定会在压轴题上有一个大的提升。


ps.因格式问题,部分上标未能正常显示,望知悉。


1

题目


如图1,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点。


1.png


(1)求该抛物线的解析式;

(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)如图2,在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由。


解答:

 (1)抛物线解析式为y=-x2-2x+3;

 (2)Q(-1,2);


下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法.



解法1

补形、割形法


几何图形中常见的处理方式有分割、补形等,此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割,变成有利于表示面积的图形。


方法一

如图3,设P点(x,-x2-2x+3)(-3<x<0).


2.png



3.jpg


4.jpg


方法二  如图4,设P点(x,-x2-2x+3)(-3<x<0).


5.png



6.png


(下略.)



解法2

“铅垂高,水平宽”面积法


如图5,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”,我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法:S△ABC=1/2ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。


7.png



根据上述方法,本题解答如下:

解  如图6,作PE⊥x轴于点E,交BC于点F.


8.png


设P点(x,-x2-2x+3)(-3<x<0).


9.jpg




∴点P坐标为(-3/2,15/4)


解法3

切线法


若要使△PBC的面积最大,只需使BC上的高最大.过点P作BC的平行线l,当直线l与抛物线有唯一交点(即点P)时,BC上的高最大,此时△PBC的面积最大,于是,得到下面的切线法。


解  如图7,直线BC的解析式是y=x+3,过点P作BC的平行线l,从而可设直线l的解析式为:y=x+b.


11.png




12.png


                 =27/8



解法4

三角函数法


本题也可直接利用三角函数法求得.


解  如图8,作PE⊥x轴交于点E,交BC于点F,作PM⊥BC于点M.


13.png


设P点(x,-x2-2x+3)(-3<x<0),

则F(x,x+3).


14.png



15.jpg



从以上四种解法可以看到,本题解题思路都是过点P作辅助线,然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解。

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